Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Af og til er der forelagt to ligninger med to ubekendte, og man er interesseret i at finde de værdier af de ubekendte størrelser, der passer i ligningerne. Vi viser, hvordan problemer af denne type kan løses.

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Eksempel 2.4

© colourbox.com
© colourbox.com

I kantinen oplyses det, at

  • 4 colaer og 2 boller koster i alt 36 kr.
  • 3 colaer og 5 boller koster i alt 55 kr.

Hvad koster en cola, og hvad koster en bolle?

Hvis vi køber 3 gange så meget af den første kombination, har vi, at

  • 12 colaer og 6 boller koster i alt 108 kr.,

og 4 gange så meget af den anden kombination:

  • 12 colaer og 20 boller koster i alt 220 kr.

Da der i disse to tilfælde er indeholdt lige mange colaer, må prisforskellen skyldes det forskellige antal boller. Der må altså gælde, at

  • 14 boller koster 220 − 108 = 112 kr.

men så gælder, at

  • 1 bolle koster 112 : 14 = 8 kr.

Nu er problemet halvvejs løst. Den første af oplysningerne:

  • 4 colaer og 2 boller koster i alt 36 kr.

bliver nu til

  • 4 colaer koster 20 kr. hvoraf 1 cola koster 5 kr.

Dette er jo en noget ordrig omgang, så for at gøre metoden mere gennemskuelig indføres nogle betegnelser:

x \; : \text{ antal colaer} \quad , \quad y \; : \text{ antal boller} \; .

Vores prisoplysninger ser nu sådan ud:

\begin{aligned} 4x + 2y &= 36 \\ 3x + 5y &= 55 \; . \end{aligned}

Vi ganger den første ligning med 3, den anden med 4:

\begin{aligned} 12x + 6y &= 108 \\ 12x + 20y &= 220 \; . \end{aligned}

Nu trækkes den øverste ligning fra den nederste (dvs. venstre side fra venstre side og højre side fra højre side):

\begin{aligned} &(12x + 20y) - (12x + 6y) = 220 - 108 \\ \iff &12x + 20y - 12x - 6y = 112 \\ \iff &14y = 112 \\ \iff &y = 8 \; . \end{aligned}

Vi kan derefter finde x ved at indsætte y = 8 i en af ligningerne, fx den første:

4x + 28 = 36 \iff 4x + 16 = 36 \iff 4x = 20 \iff x = 5 \; .

Løsningen til ligningssystemet er altså x = 5, y = 8. Dette skrives også sådan: (x, y) = (5, 8).

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Vi siger, at vi har løst et ligningssystem af første grad med to ubekendte. Løsning af et sådant system foregår, som vist, ved at gange hver ligning med et passende tal, så man opnår samme koefficient til en af de ubekendte i begge ligninger. Derefter trækker man fra. 

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Eksempel 2.5

Vi løser endnu et ligningssystem med to ubekendte. Læg mærke til, hvordan regningerne praktisk stilles op idet vi ganger med hhv. 3 og 8:

\begin{cases}8x-4y=68\\3x+5y=-20\end{cases} \iff \begin{cases}24x-12y=204\\24x+40y=-160\end{cases}

Træk fra:

\begin{aligned} & 24x - 12y-(24x + 40y) = 204 - (-160) \\ &\iff -52y = 364 \iff y =\frac{364}{-52} = -7\; . \end{aligned}

Indsættelse af y = −7 i ligningen 8x − 4y = 68:

8x - 4 (-7) = 68 \iff 8x + 28 = 68 \iff 8x = 40 \iff x = 5\; .

Løsningen er (x, y) = (5, −7).

Vi kan også vælge at skaffe samme koefficient til y; det kan gøres ved at gange med hhv. 5 og 4: 

\begin{cases} 8x - 4y = 68 \\ 3x + 5y = -20 \end{cases} \iff \begin{cases} 40x - 20y = 340 \\ 12x + 20y = -80 \end{cases}

For at få y'erne til at gå ud lægger vi denne gang ligningerne sammen:

40x - 20y + 12x + 20y = 340 - 80 \iff 52x = 260 \iff x = 5 \; .

Indsættelse af x = 5 i 8x − 4y = 68:

8 \cdot 5 - 4y = 68 \iff 40 - 4y = 68 \iff -4y = 28 \iff y = -7 \; .

Vi har (selvfølgelig) igen fundet løsningen (x, y) = (5, −7).

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.

Video om to ligninger med to ubekendte

Note
Du skal logge ind for at skrive en note.